Meia-vida & Carbono 14 - Matemáticamente falando

Em Cálculo 2, ao estudar as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO's), o professor mostrou alguns exemplos de aplicação de tal, entre eles estava um interesse: "o famoso Carbono 14". Tentarei explicar como é, e no final, as observações (que são as mais importantes).

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Bem, a grosso modo é uma função (a massa em função do tempo). Ou seja, num certo tempo temos uma certa massa, e num outro tempo, uma outra massa.

Então, fazendo uma análise, da questão da meia-vida, ou seja: Quando se teria metade da massa? Percebe-se que aquilo que você está observando está perdendo massa conforme o tempo. Ou seja, é uma velocidade. Não de "metros por segundo (m/s)" ou "quilometros por hora(km/h)", mas "massa por tempo", podendo ser quilogramas por hora (kg/h).

Ok?

Bem, se é uma velocidade, então é uma derivada. (ai entra alguns conhecimentos essenciais de cálculo). E se temos uma proporção constante (a da meia-vida). Então, podemos descrever uma constante (k), do seguinte modo:

0 > k= m'/m
[m' --> é m derivado uma vez ]

e que: m'(t) <>m(t) = mo.e^(tk)

LEGENDA ....................................................................

m(t) --> a massa em função do tempo
mo --> massa inicial
e --> exponencial (um valor tipo o "pi", que aparece em tudo qualquer lugar na matemática)
^ --> como não tem o recurso de sobrescrito no blogger, uso esse sinal para indicar que o que vem a seguir é um expoente ou potência.
T --> tempo de meia-vida (ou seja quando a massa cai pela metade).
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Com isso, dá para formular mais equações, como o tempo de meia-vida:
m(t + T) = m(t)/2

e como:
m(t) = mo.e^(kt) [isto vem das EDO's]
para meia-vida, então, temos:
.
m(t + T) = mo.e^(k(t+T))
.

agora, é só trabalhar um pouco na equação:

=> (então) m(t + T) =

= mo.e^(k(t+T))

= mo.e^(kt).e^(kT)

= m(t).e^(kT) = m(t)/2

=> e^(kT) = 1/2

=> kT = ln(1/2)

=> kT = ln(2)^(-1)

=> kT = -ln2

=> k = -ln2/T

Bem, ln é o famoso "logaritimo natural". Que é a mesma coisa do famoso LOG, quando a sua base é o e. Ou seja, ln de 2 (ln2) é o mesmo que dizer log de 2 na base e. Porem, de certa forma, o log não é muito usado no calculo (praticamente nada), mas usa-se muito o ln pois tal possui diversas propriedades usais em quase tudo - como o e, aliás, onde tem um e certamente terá um ln (em muitos casos).

Ok, já que encontramos o valor de k. Agora vamos substituir na equação m(t)=mo.e^(kt)

então, temos: m(t) = mo.e^(t.-ln2/T)

Agora, basta trabalhar um pouco a fórmula:

m(t) = mo.(e^ln2)^(-t/T)

[Bem, e^ln2 é um número conhecido, é o famoso 2. Pois, devido as propriedades que não vou provar aqui, temos que, qualquer número "a", pode ser escrito do seguinte modo:

a = e^lna]

m(t) = mo.2^(-t/T)

m(t) = mo/2^(t/T)

Bem, e com isso, terminamos. Encontramos a bendita fórmula que descreve a meia-vida.

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Ok. E como isso é relacionado com o carbono 14?

Bem, consideram o Carbono 14 como um dos isótopos mais instáveis e que possui maior meia-vida, dizem que a sua meia-vida é de 5.730 anos.

Como é que eles chegaram a este número?

Certamente ninguém ficou observando uma amostra de carbono 14 numa balança por quase 6 mil anos para perceber que a sua massa caia pela metade ao se passar 5.730 anos. O que fizeram foi o seguinte: pegaram uma minuscula amostra, (pequena mesma), e não uma pedra de 10kg. E então, esperaram ela perder um pouco de massa. E perceberam que após alguns dias, ou semanas, meses, anos (não sei quanto tempo usaram), perceberam que a sua massa caiu um pouco. Então, fizeram uma analise estatistica dessas amostras, e chegaram nisso, que então, o carbono 14 deveria perder metade de sua massa após 5.730 anos (claro, com uma incerteza).

Bem, e a partir dessa teoria [é teoria mesmo], passaram a usar o carbono 14 para analisar o tempo de vida das coisas, de fósseis etc. E com isso, chegaram em números com muitos zeros e casas. E foi um dos métodos pioneiros da datação cientifica.

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Mas, todavia, porém, portando...

É uma loucura usar este método para a meia-vida, porque é impossível. Como meu professor disse: "É algo muito idealizado. [num sentido de utopia mesmo]"

Por que?

Pois, à rigorosa matemáticamente falando, é certo, como mostramos, a fórmula está correta, vale. Porém, para usá-la na prática, como realmente querem usar, não vale. Talvez funcione para coisas muito próximas. Por exemplo, ver a idade de algumas coisas que em alguns anos perdem metade da massa etc. Mas quanto mais tempo passa, mais torna-se um absurdo. Porque é preciso de um sistema rigoroso, controlado e praticamente constante, sem interferências, e condições perfeitas.

Para ter idéia, este mesmo método da EDO é usado para se conseguir muita coisa, como a análise de taxa de crescimento populacional de uma certa espécie. Porém, na vida prática teria que ser algo assim:

"Bem, amigos, hoje vamos analisar a taxa de crescimento das formigas-vermelhas.

mas, para isso, temos que levar em conta alguns fatores:

- ninguém tem problema de fome e de saúde;

- não há predadores, como um tamanduá que pode dizimar um formigueiro em poucas horas;

- elas nunca brigariam entre si, nem com outros formigueiros;

- elas nunca perderiam o caminho de casa;

- elas não sofrem acidentes, como chuva que as afogam, ou animais que as pisoteiem, entre outros;

- enfim, todas as condições, tem que favorecer perfeitamente a elas, para que nada saia do equilibrio.

Então, com isso, podemos usar aquela fórmula que os matemáticos fizeram."

E é assim que tem que ser para poder usar. Um outro exemplo, é para os famosos "juros compostos", com tal, consegue a rigor saber quanto será o dinheiro depois de tantos meses etc. Porém, para isso, é preciso de um controle tão rigoroso que se percebe que os bancos cobram taxas pesadas, e custa "no bolso do povo" manter essa "equação" em perfeito harmonia na vida prática.

Quanto a meia-vida é a mesma coisa, as condições tem que ser perfeitas, constantes e nada que possa influenciar, muito menos algo que possa acelerar o processo. E por isso o professor disse: "é algo muito idealizador." [num sentido que quis dizer, isso é bem utópico, fico induzido a dizer: impossível]

Bem, o método do carbono 14, muitos cientistas não dão muito crédito. Existem outros métodos que usam por ai. Porém, em todas, de certa forma tem que se adimitir alguns paradigmas, especialmente do naturalismo fisolófico, mas algo que se deve admitir para se estudar o passado é: "As condições do passado desconhecido ,precisam, necessitam ser tal, que não interfiram nessas equações, e de tal modo, que tais métodos funcionariam tão bem como nos dias de hoje." Porém, ninguém hoje já viveu em tal passado [humanamente falando], nem muito menos temos registros escritos, provas (provas livre de interpretação, do tipo: Uma pedra escrito o 'ano'; algo que indique uma data livre de qualquer paradigma ) etc. que nos dê informações sobre tal passado (digo de milhares, milhões de anos). E o pior de tudo, não podemos viver em tal passado e analisá-lo num laboratório, observando e levantando dados dessa observação. Por fim, é uma questão de fé - "o passado foi assim, vamos estudá-lo a partir dessas convicções".

"Se uma datação radiocarbônica apoia nossas teorias, nós a colocamos no texto; se ela não contradiz frontalmente, colocâ-mo-la no rodapé e, se for discrepante, simplesmente não a mencionamos." - Säve Söderbergh, arqueólogo

Nota: Entre acreditar em Deus ou nesses cientistas, eu fico com Deus. Entre ter fé na Bíblia que é cheia de incríveis verdades e respostas para diversas coisas da vida, a qual já mudou, transformou a vida de muitos homens pelos quais não se daria um único centavo, ou ter fé que essas fórmulas funcionariam perfeitamente para toda a eternidade passada, eu fico em ter fé na Bíblia. Creio no relato da criação apresentada por homens inspirados por Deus na Bíblia. E de acordo com ela, muitas destas datações dadas pelos cientistas estão equivocadas, ou suas observações. E mais, a Bíblia aponta que no passado AS CONDIÇÕES eram bruscamente diferentes das de hoje; de certo modo, desconhecidas. Porém, também seria anti-cientifico buscar estudar isso, não se pode estudar informações, dados, condições que não se tem acesso; mas só aquilo que se tem. Contudo, acredito ser uma questão de tempo até que melhores modelos, aperfeiçoamentos, mais conhecimentos, mais dados, mais informações, que a longo prazo tendem a revelar, demonstrar um fato, uma verdade.