13 junho 2007

A Matemática da Mega-Sena

Inconformado em saber que milhões de pessoas em todo o Brasil ficam gastando verdadeiros rios de dinheiro jogando na Mega-Sena, com aquela esperança de "eu posso ganhar", ou "alguém tem quem ganhar, e por que não eu?", muitas vezes até mesmo causando prejuízos nas próprias finanças... Bem, espero que esses dados matemáticos ajudem a compreender um pouco melhor as "Probabilidades" envolvidas da coisa.


No site: http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp
há alguns dados, porém, no minimo "estranhos", principalmente quanto as sua interpretação e condições. Então aqui colocarei algumas comparações para ter ideia sobre a grandeza dessa "chance", ou "tendência", ou, simplesmente, sua probabilidade de ser sorteado e ganhar o premio milionário, e uns métodos alternativos e certos de torna-se rico. Além de, um aspecto mais 'professor de matemático' mostrando a lógica e intuição de como calcular tal probabilidade.
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Regras do Jogo
Para ganhar, você tem que acertar seis números, sendo que variam de 01 - 60. 
 
a) Para um jogo com 6 números (o mais básico e de menor custo).

1. Representei os 6 números escolhidos, como as seis casas abaixo.

1__ 2__ 3__ 4__ 5__ 6__

2. Agora, associamos, a cada uma delas, a quantidade de números (ou bolas) possíveis para cada:
A lógica é, no primeiro, pode ser 60 números, na segunda, também pode ser os 60 menos o número da primeiro, portando, 60 - 1 = 59... e assim, sucessivamente, até que na sexta casa, se tem a possibilidade de 55 números.
__ __ __ __ __ __
60 59 58 57 56 55

Repare num aspecto intuitivo e construtivo sobre o fórmula da Combinatória em Matemática. Por que apenas até o 55? Isto ficará claro no próximo passo.

3. Então para cada uma das possibilidades de uma casa, há , também, a possibilidade das demais. Ou seja, temos que ajuntar tais combinações de números. É aquele famoso: "Você tem que acertar a primeira e a segunda e a terceira e a quarta e a quinta e a sexta." Enfim, esse "e" representa uma multiplicação (sem entrar em mais detalhes do motivo) em probabilidade.

Enfim, o números de eventos possíveis é o resultado dessa conta:
__    __    __    __    __    __
60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55

Ou seja, 60x59x58x57x56x55.

Que é igual a: 36.045.979.200 eventos possíveis.

Mas repare uma coisa:
60.59.58.57.56.55 é o mesmo que:

60.59.58.57.56.55.54!
               54!


e mais:

   60!   
(60-6)!

ou seja,

Números Possíveis = n = 60
Número de casas/bolas = k = 6

E temos:
   n!   

(n-k)!

Opa! Notou que começou a ficar com a cara da fórmula de Combinatória? Mas ainda há algo faltando. E esta parte, talvez seja a menos intuitiva a primeira vista.

__ __ __ __ __ __  isto pode ser arranjando de outras formas (ou menos de dizendo, de 6! formas).
60 59 58 57 56 55

Suponha que os números sorteados foram: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mais tais podem serem sorteados em ordens diferentes, o que é indiferente para a regra do jogo (tanto faz se foi a primeira ou a última bola sorteada). Veja algumas possibilidades:
1,2,3,4,5,6
3,2,4,5,6,1
4,3,2,1,5,6
etc. E por aí vai. Ao todo são 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (pode contar se quiser) modos de arranjar estes números. E todos estes modos são indiferentes para este caso, em que a ordem não importa.

Ou seja, para todas as 36.045.979.200 possibilidades calculadas acima, temos que eliminar todas estes arranjos de resultados que são indiferentes. E por isso fazemos tal divisão:

   _60! _   = 50.063.860
(60-6)!6!

que é igual a

  _ n!   _ = Combinatória(n, k)

(n-k)!k!



Então, se você apenas optar por jogar 1 vez em 6 números, a sua chance de acertar a sena é de 1 em "50 milhões 63 mil e 860"

Ou seja, na representação fracionária:
____1____
50.063.860

na, decimal: 0,0000000199744885831816
ou ainda, 0,00000199744885831816%

Isto está muito mais próximo, de ZERO do que 1% de chance.

Bem, sabe o que isso quer dizer? Qual é o tamanho, a grandeza dessa possibilidade, tendência? Bem, então vamos lá para algumas comparações astronômicas, para você ter uma ideia de qual a chance de você ganhar.

EXEMPLO
Suponha que você consiga acumular todos os sorteios que você faria a cada mês de sua vida, vivendo por 500 anos!  E jogasse tudo de uma só vez. E isso, durante 500 anos (supondo que sobrevivesse tanto tempo)!
Então o total de jogos: (meses)12x500(anos) = 6000 jogos

Então a sua probabilidade é de 6.000 jogos com P(ganho) = 1/
50.063.860 em cada

ou seja, fração:
__6.000__
50.063.860

Simplificando, isso é aproximadamente igual a 1 em 8.344 aprox. Ou, 0,012%.

Enfim, é essa a sua chance de ganhar, mesmo que você jogasse todos os meses por 500 anos!!! Apesar, que, na realidade, os sorteios são independentes.

Claro, se você fizer jogos com mais números e considerar a chance de ganhar com quadras e quinas, a probabilidade aumenta um pouco. Porém, o custo também.

ESPERANÇA
Suponha agora uma outra situação. Em que o prêmio do vencedor seja de R$ 250 milhões. E, para simplificar as contas, a probabilidade de ganhar a sena seja de 1 em 50 milhões. Neste caso, qual é o prêmio ou valor esperado desta aposta?

E(X) = P(X).X
Esperança(Ganhar 250mi) = Probabilidade(Ganhar 250mi) x (250mi)

E(X) = 250 mi / 50 mi = R$ 5

Ou seja, neste caso, repare que quando o prêmio for maior que a probabilidade, podemos dizer que há algum argumento racional para embasar tal esperança. Sobretudo se o custo deste jogo for menor do R$ 5. Exemplo, se o custo do jogo for de R$ 3, então o Lucro Esperado, ou a esperança do lucro, será de R$ 2,00.

INVESTIMENTO
Agora, vamos supor que ao invés de você gastar esse dinheiro todo com a mega-sena, por quinhentos anos. E mesmo assim ter uma chance insignificante de ficar 'rico'. Vamos partir para um outro método de ficar rico e cheio da grana.

Suponha, que você gastasse R$ 1,00 para jogar cada vez (o que está abaixo do preço real). Ou seja, nesses 500 anos você gastaria R$ 6.000,00. Então, ao invés de gastá-los desse modo (no jogo), você aplicaria, desde já, 6 mil reais num CDB ou Título Público, com um rendimento um pouco maior que a poupança.

Enfim, através da equação de juros compostos. Chegamos em cifras fascinantes!!
[Abaixo, uma relação de quantos anos e o valor que você teria no total, aproximado]
(lembrando que você investiu/gastou inicialmente: R$ 6.000,00)
...
10 anos: R$ 15.562,45
50 anos: R$ 704.345,11
100 anos: R$ 82.683.674,04   (já teria milhões de sobra)
150 anos: R$ 9.706.307.014,66     (já teria bilhões de sobra)
200 anos: R$ 1.139.431.658.762,79   😮
...
500 anos: R$ 2.981.905.180.387.460.000.000.000,00  😱 (Que número é esse? Como se lê isto?) 

Bem, eu nem sei ler isso! É uma quantia astronômica. Certamente, você seria a pessoa mais rica do mundo. Somasse as riquezas de todas as pessoas da História da Terra, e creio que não teriam chegado a sola dos seus pés. Você poderia comprar simplesmente TUDO! Todo o planeta, estação espacial, satélites, todas as nações da Terra. Ou até mesmo, outros planetas. Poderia mudar o nome do planeta Júpter para Planeta Frederico se quisesse. E, ainda assim, faltaria muito dinheiro para gastar.
E quanto mesmo você ganharia na Mega Sena 500 anos?

Enfim, qual seria uma atitude mais inteligente para ganhar, ficar rico, n-nário, cheio da grana: Loteria ou investimento?



(claro, não estou levando em conta, a questão da inflação e outros 'detalhes'... [curioso, fale comigo...])

COMPARAÇÕES
Vamos mudar um pouco o contexto. Agora é o famoso jogo de Truco.
São 40 cartas.

Primeiro caso:
A sua chance de pegar uma carta especifica, como um zap, ou copas, ou espada, em uma jogada: é de 3 em 40
3:40 = 0,075 = 7,5%
A probabilidade disso ocorrer é ainda 625 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

Segundo caso:
A sua chance de pegar o TRIO MAIOR (Zap, copas e espada) na mesma mão entre 11 rodadas (que é o máximo para 1 partida):
11x(1/40)³ = 0.000171875 = 0,0171875%
A probabilidade disso ocorrer é ainda 1,5 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

Terceiro caso:
Comparação com jogo de dados.
Se você pegar 6 dados e sacudi-los e jogá-los numa mesa. A probabilidade deles darem ao mesmo tempo, todos 6, é de:
1 em 6x6x6x6x6x6 = 46.656
ou seja, 0,00002143347051 = 0,002143347051%
A probabilidade disso ocorrer é QUASE A MESMA do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

INVESTIMENTO Exemplo 2 (ficar rico ainda nessa vida)
Suponha que em 40 anos, se você fosse jogar 10 mil reais, com qualquer tipo de loteria, rifa, bingo, caça-niquel... e ao invés disso, pegasse esses 10mil e investisse em ações, de forma que rendesse, pelo menos 1% ao mês (o que não é tão impossível.). Em 40 anos você teria já seu primeiro milhão, no valor de R$ 1.186.477,25. Isso, sem contar que ao longo deste tempo você poderia investir ainda mais, talvez chegando a este montante em menos de 30 anos sem exageros.

Bem, aí está uma forma mais viável de se ficar milionário, sem gastar o seu precioso dinheiro no que alguns chamam de "sorte" (o que eu chamaria de ser algo que tem muita probabilidade de não acontecer e acontecer) - uma burrice tremenda, diria eu. Isso fora, que você poderia usar o dinheiro que gasta com a cerveja, as drogas, cigarros, doces entre outras coisas inúteis, e investir ainda mais; e certamente, você esperaria muito menos que 40 anos e já seria um milionário.

A diferença, é que para isso você teria que ter uma paciência de aguardar décadas, e ter uma visão futura para sacrificar o agora, ajuntando 10mil reias e investindo-o, ao invés de gastá-lo com outras coisas temporais. Ficam pensando: É mais fácil ganhar assim. - Como vimos, mais fácil coisa nenhuma. A tendência de ocorrer, em muitas calculadoras é ZERO, ou seja, NENHUMA. Ao invés disso, investimento, uma boa aplicação é uma ATITUDE COM MAIOR CONFIABILIDADE de que aos poucos se chega lá, ou pelo menos, terá como resgatar parte do valor investido. Apenas você precisa revestir-se de uma visão futura e longânima. Por exemplo, investimento em eucalipto, tende a te render 500% em 7 anos.

Caso, tenha 'dinheiro sobrando' para fazer algumas apostas altamente especulativas, se quiser otimizar suas chances de algum modo, fazer uma escolha 'um pouco mais racíonal'. Então pelo menos espere o prêmio acumular acima de 50 milhões, e mitigue seus custos com outras pessoas, através de um bom 'bolão'. Mas sempre esteja mais do que certo que este dinheiro não fará nenhum impacto financeiro no seu orçamento. E lembre-se, cuidado!, jogar pode viciar. Não poucos ficam tentados a jogar e arriscar cada vez mais e até mesmo tomando decisões absurdamente irracionais que estragam suas vidas e de seus entes.


PARA MEDITAR
"Melhor é o que se estima em pouco e faz o seu trabalho do que o vanglorioso que tem falta de pão. " Prov. 5:10
"Os bens que facilmente se ganham, esses diminuem, mas o que ajunta à força do trabalho terá aumento." Prov. 13:11
"O preguiçoso mete a mão no prato e não quer ter o trabalho de a levar à boca." Prov. 26:15

14 comentários:

Evandro Costa de Oliveira disse...

Bem, acabei de ficar sabendo que são na verdade 00 - 60 as bolas da Mega Sena. E não de 00 - 99, como eu considerei.

(isso mostra pelo menos que não fico jogando hehe)

Então, isso, certamente vai dar uma grande diferença nos valores. Mais para frente, quando eu tiver tempo para re-fazer os calculos, eu reviso essa publicação. Mas com esse post mesmo, já dá para ter uma idéia da coisa.

Marília disse...

Na parte em que vc diz:

Bem, então agora associamos, a cada uma delas, a quantidade de numeros (ou bolas) possiveis para cada:
__ __ __ __ __ __
60 59 58 57 56 55
Então para cada uma delas, há a possibilidade das demais. Ou seja, temos que ajuntar tais. É aquele famoso: "Você tem que acertar a primeira e a segunda e a terceira e a quarta e a quinta e a sexta." Enfim, esse "e" representa uma multiplicação (sem entrar em mais detalhes do motivo).


Enfim, o números de eventos possíveis é o resultado dessa conta:
60x59x68x67x56x55

PORQUE QUE NO MOMENTO DE MULTIPLICAR VC MUDOU OS NUMEROS? AO INVÉS DE 60X59X58X57X56X55 VC MULTIPLICOU 60X59X68X67X56X55

Evandro Costa de Oliveira disse...

nossa! verdade.

Foi um erro de desatenção ou digitação.

VOu verificar se apenas errei ao escrever os numeros, ou tambem errei na multiplicação, e portanto no valor gerado.

Depoiseu vou corrigir isso.


Obrigado pela observação. Isto estava aí há moh tempo, várias pessoas viram, e ninguem disse nada.

Paulo disse...

Dica quente:
Programa que analisa estatisticas de resultados anteriores, numerologia, zodiaco, fases da lua, e faz muitos calculos jamais feitos antes para gerar um palpite vencedor da mega-sena.
http://www.muitodinheiro.ifastnet.com
http://www.megasorte.co.cc

Anônimo disse...

Evandro, gostaria de te avisar e avisar aos outros que a forma de calcular a probabilidade da mega-sena está errada.

Primeiramente vá no site da caixa e veja a real probabilidade. Você verá que ao invés de ser 36.045.979.200 a probabilidade é de 50.063.860. Isso mesmo, 50 milhões!

Por que a diferença?

No seu exemplo faltou considerar um pequeno fato: não importa a ordem do sorteio dos números. Se você apostar 1-2-3-4-5-6 e se for sorteado 6-5-4-3-2-1, você ganha. Os números podem sair de 6! (6 fatorial) formas diferentes e você ganha!! Ou seja:
Se você aposta 1-2-3-4-5-6.

Pode sair:
1-2-3-4-5-6
2-3-4-5-6-1
3-4-5-6-1-2
4-5-6-1-2-3
(...)
E qualquer que seja a ordem sorteada você ganha.

Isso indica que a probabilidade dos seus números sairem é igual a probabilidade de qualquer uma das possíveis formas dos seus números sairem. Daí vem
6! / 36.045.979.200 = 1/50.063.860

Espero que a explicação tenha esclarecido...

Abraços!

Evandro Costa de Oliveira disse...

Muito obrigado mesmo... valeu... por essa informação.

Realmente, não me passaram direito quais eram as regras da Mega Sena. Ai fui meio do que um carinha disse que era.

Gosto desse tipo de discussão e participação.

Aliás, opa, agora sim as chances melhoraram. É uma prob. de 1 em 50 milhões... rs

Phil disse...

Olá Evandro,

Concordo com a pessoa que informou o modo de calcular as probabilidades da megasena.

Em matemáticas, se chama de combinação, e a formúla certa é C(6,60)=60! / (6! * (60-6)!) = 50.063.860

O que você calculou foi uma permutação, de formúla: P(6,60)= 60! / (60-6)!

Isso dito, 1 chance de 50milhões continua pouco, mas brincando com estatísticas a gente pode achar como "influenciar a sorte..."... Dê uma olhada no meu blog: tec.skloogs.com ;)

Abraços,
Phil.

Gustavo disse...

A matemática tá quase toda errada, como já foi citado assim.

E essa dos juros... que tipo de investimento paga 5% ao mês? Se fosse fácil assim todo mundo ia ser milionário =/

Balzary disse...

Cara, essa de probabilidade é besteira, vc pode apostar com uma pessoa e perder, vc pode jogar uma moeda e perder, jogar um dado e perder. Mega-sena é coisa do acaso.

Evandro Costa de Oliveira disse...

Caro Balzary,

O que é acaso? Acaso significa simplesmente o fato inevitável que ocorrerá, do qual não temos o controle, nem participação alguma.

Vamos para um outro exemplo.

Há uma caixa e são colocadas 2 bolas dentro da caixa, uma branca e uma preta. Se você tirar a branca você é salvo, se você tirar a preta você morre.

Elas são colocadas lá dentro, então você apenas enfia a mão na caixa, sem poder vê-la, e tem que tirar uma bola.

De fato, será um acaso você tanto tirar a branca quanto a preta. E uma coisa é certo, ou você vai tirar branca, ou preta. E numa probabilidade de 1/2.


Já na mesma situação, são colocados 50mil bolas pretas para uma bola branca na caixa. E você tem que enfiar a mão lá. Meu caro, o caso, o fato continua o mesmo. O que muda agora, é que a probabilidade é de 1 para 50mil. Ou seja, sua probabilidade de sair salvo dessa tende a zero, é praticamente nulo.

Fato é fato, assim como o acaso. Contudo, nessa situação, o que é melhor, uma caixa com 50mil bolas pretas para 1 branca, ou uma caixa com 50mil bolas brancas para 1 preta?

Na Mega-Sena é assim, sua chance tende ao nulo, tende a zero.

Cristian Romanus disse...

Quem Fez esse calculo ai e nao joga... meu amigo ... as probabilidades tuas é nenhuma... Voce nao joga... entao e igual a probabilidade de ver o apocalipse acontecer nos proximos 5 bilhoes de anos

Anônimo disse...

qua qua qua vc matematico..é ruim hein
errou na primeira conta ...nem li o resto das asneiras...
quase toda semana um felizardo fica feliz em acreditar na mega ...
só ganha quem joga...

Anônimo disse...

Evandro, não são as regras da mega sena, são regras matemática, então antes de você sair falando asneiras por aí trate de estudar Matemática!

Anônimo disse...

O número é 36045979200, no entanto a ordem não importa.

Portando faça 1x2x3x4x5x6 = 720 e divida 36045979200/720

Logo você terá 50063860.

Na primeira conta onde se obtém 36045979200, é uma permutação simples que se considera que a ordem importa, quando dividimos por 720 (1x2x3x4x5x6), estamos dizendo que a ordem não importa.

Pois você pode jogar 50 - 30 - 40 - 60 - 10 tanto quanto 30 - 50 - 40 - 10 - 60 que irá ganhar do mesmo jeito, basta estes serem os números sorteados.