A Matemática da Mega-Sena

Inconformado em saber que milhões de pessoas em todo o Brasil ficam gastando verdadeiros rios de dinheiro jogando na Mega-Sena, com aquela esperança de "eu posso ganhar", ou "alguém tem quem ganhar, e por que não eu?", muitas vezes até mesmo causando prejuízos nas próprias finanças... Bem, espero que esses dados matemáticos ajudem a compreender um pouco melhor as "Probabilidades" envolvidas da coisa.

No site: http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp

há alguns dados, porém, no minimo "estranhos", principalmente quanto as sua interpretação e condições. Então aqui colocarei algumas comparações para ter ideia sobre a grandeza dessa "chance", ou "tendência", ou, simplesmente, sua probabilidade de ser sorteado e ganhar o premio milionário, e uns métodos alternativos e certos de torna-se rico. Além de, um aspecto mais 'professor de matemático' mostrando a lógica e intuição de como calcular tal probabilidade.

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Regras do Jogo

Para ganhar, você tem que acertar seis números, sendo que variam de 01 - 60. 

 
a) Para um jogo com 6 números (o mais básico e de menor custo).

1. Representei os 6 números escolhidos, como as seis casas abaixo.

1__ 2__ 3__ 4__ 5__ 6__

2. Agora, associamos, a cada uma delas, a quantidade de números (ou bolas) possíveis para cada:
A lógica é, no primeiro, pode ser 60 números, na segunda, também pode ser os 60 menos o número da primeiro, portando, 60 - 1 = 59... e assim, sucessivamente, até que na sexta casa, se tem a possibilidade de 55 números.

__ __ __ __ __ __

60 59 58 57 56 55

Repare num aspecto intuitivo e construtivo sobre o fórmula da Combinatória em Matemática. Por que apenas até o 55? Isto ficará claro no próximo passo.

3. Então para cada uma das possibilidades de uma casa, há , também, a possibilidade das demais. Ou seja, temos que ajuntar tais combinações de números. É aquele famoso: "Você tem que acertar a primeira e a segunda e a terceira e a quarta e a quinta e a sexta." Enfim, esse "e" representa uma multiplicação (sem entrar em mais detalhes do motivo) em probabilidade.

Enfim, o números de eventos possíveis é o resultado dessa conta:

__    __    __    __    __    __

60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55

Ou seja, 60x59x58x57x56x55.

Que é igual a: 36.045.979.200 eventos possíveis.

Mas repare uma coisa:
60.59.58.57.56.55 é o mesmo que:

60.59.58.57.56.55.54!
               54!


e mais:

   60!   
(60-6)!

ou seja,

Números Possíveis = n = 60

Número de casas/bolas = k = 6

E temos:
   n!   

(n-k)!

Opa! Notou que começou a ficar com a cara da fórmula de Combinatória? Mas ainda há algo faltando. E esta parte, talvez seja a menos intuitiva a primeira vista.

__ __ __ __ __ __  isto pode ser arranjando de outras formas (ou menos de dizendo, de 6! formas).

60 59 58 57 56 55

Suponha que os números sorteados foram: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mais tais podem serem sorteados em ordens diferentes, o que é indiferente para a regra do jogo (tanto faz se foi a primeira ou a última bola sorteada). Veja algumas possibilidades:

1,2,3,4,5,6

3,2,4,5,6,1

4,3,2,1,5,6

etc. E por aí vai. Ao todo são 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 (pode contar se quiser) modos de arranjar estes números. E todos estes modos são indiferentes para este caso, em que a ordem não importa.

Ou seja, para todas as 36.045.979.200 possibilidades calculadas acima, temos que eliminar todas estes arranjos de resultados que são indiferentes. E por isso fazemos tal divisão:

   _60! _   = 50.063.860
(60-6)!6!

que é igual a

  _ n!   _ = Combinatória(n, k)

(n-k)!k!

Então, se você apenas optar por jogar 1 vez em 6 números, a sua chance de acertar a sena é de 1 em "50 milhões 63 mil e 860"

Ou seja, na representação fracionária:

____1____

50.063.860

na, decimal: 0,0000000199744885831816

ou ainda, 0,00000199744885831816%

Isto está muito mais próximo, de ZERO do que 1% de chance.

Bem, sabe o que isso quer dizer? Qual é o tamanho, a grandeza dessa possibilidade, tendência? Bem, então vamos lá para algumas comparações astronômicas, para você ter uma ideia de qual a chance de você ganhar.

EXEMPLO

Suponha que você consiga acumular todos os sorteios que você faria a cada mês de sua vida, vivendo por 500 anos!  E jogasse tudo de uma só vez. E isso, durante 500 anos (supondo que sobrevivesse tanto tempo)!

Então o total de jogos: (meses)12x500(anos) = 6000 jogos

Então a sua probabilidade é de 6.000 jogos com P(ganho) = 1/50.063.860 em cada

ou seja, fração:

__6.000__

50.063.860

Simplificando, isso é aproximadamente igual a 1 em 8.344 aprox. Ou, 0,012%.

Enfim, é essa a sua chance de ganhar, mesmo que você jogasse todos os meses por 500 anos!!! Apesar, que, na realidade, os sorteios são independentes.

Claro, se você fizer jogos com mais números e considerar a chance de ganhar com quadras e quinas, a probabilidade aumenta um pouco. Porém, o custo também.

ESPERANÇA
Suponha agora uma outra situação. Em que o prêmio do vencedor seja de R$ 250 milhões. E, para simplificar as contas, a probabilidade de ganhar a sena seja de 1 em 50 milhões. Neste caso, qual é o prêmio ou valor esperado desta aposta?

E(X) = P(X).X
Esperança(Ganhar 250mi) = Probabilidade(Ganhar 250mi) x (250mi)

E(X) = 250 mi / 50 mi = R$ 5

Ou seja, neste caso, repare que quando o prêmio for maior que a probabilidade, podemos dizer que há algum argumento racional para embasar tal esperança. Sobretudo se o custo deste jogo for menor do R$ 5. Exemplo, se o custo do jogo for de R$ 3, então o Lucro Esperado, ou a esperança do lucro, será de R$ 2,00.

INVESTIMENTO

Agora, vamos supor que ao invés de você gastar esse dinheiro todo com a mega-sena, por quinhentos anos. E mesmo assim ter uma chance insignificante de ficar 'rico'. Vamos partir para um outro método de ficar rico e cheio da grana.

Suponha, que você gastasse R$ 1,00 para jogar cada vez (o que está abaixo do preço real). Ou seja, nesses 500 anos você gastaria R$ 6.000,00. Então, ao invés de gastá-los desse modo (no jogo), você aplicaria, desde já, 6 mil reais num CDB ou Título Público, com um rendimento um pouco maior que a poupança.

Enfim, através da equação de juros compostos. Chegamos em cifras fascinantes!!

[Abaixo, uma relação de quantos anos e o valor que você teria no total, aproximado]

(lembrando que você investiu/gastou inicialmente: R$ 6.000,00)

...
10 anos: R$ 15.562,45

50 anos: R$ 704.345,11

100 anos: R$ 82.683.674,04   (já teria milhões de sobra)

150 anos: R$ 9.706.307.014,66     (já teria bilhões de sobra)

200 anos: R$ 1.139.431.658.762,79   😮

...

500 anos: R$ 2.981.905.180.387.460.000.000.000,00  😱 (Que número é esse? Como se lê isto?) 

Bem, eu nem sei ler isso! É uma quantia astronômica. Certamente, você seria a pessoa mais rica do mundo. Somasse as riquezas de todas as pessoas da História da Terra, e creio que não teriam chegado a sola dos seus pés. Você poderia comprar simplesmente TUDO! Todo o planeta, estação espacial, satélites, todas as nações da Terra. Ou até mesmo, outros planetas. Poderia mudar o nome do planeta Júpter para Planeta Frederico se quisesse. E, ainda assim, faltaria muito dinheiro para gastar.

E quanto mesmo você ganharia na Mega Sena 500 anos?

Enfim, qual seria uma atitude mais inteligente para ganhar, ficar rico, n-nário, cheio da grana: Loteria ou investimento?


(claro, não estou levando em conta, a questão da inflação e outros 'detalhes'... [curioso, fale comigo...])

COMPARAÇÕES

Vamos mudar um pouco o contexto. Agora é o famoso jogo de Truco.

São 40 cartas.

Primeiro caso:

A sua chance de pegar uma carta especifica, como um zap, ou copas, ou espada, em uma jogada: é de 3 em 40

3:40 = 0,075 = 7,5%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 625 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

Segundo caso:

A sua chance de pegar o TRIO MAIOR (Zap, copas e espada) na mesma mão entre 11 rodadas (que é o máximo para 1 partida):

11x(1/40)³ = 0.000171875 = 0,0171875%

A probabilidade disso ocorrer é ainda 1,5 vezes maior do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

Terceiro caso:

Comparação com jogo de dados.

Se você pegar 6 dados e sacudi-los e jogá-los numa mesa. A probabilidade deles darem ao mesmo tempo, todos 6, é de:

1 em 6x6x6x6x6x6 = 46.656

ou seja, 0,00002143347051 = 0,002143347051%

A probabilidade disso ocorrer é QUASE A MESMA do que você ganhar na Mega Sena em 500 anos!

INVESTIMENTO Exemplo 2 (ficar rico ainda nessa vida)

Suponha que em 40 anos, se você fosse jogar 10 mil reais, com qualquer tipo de loteria, rifa, bingo, caça-niquel... e ao invés disso, pegasse esses 10mil e investisse em ações, de forma que rendesse, pelo menos 1% ao mês (o que não é tão impossível.). Em 40 anos você teria já seu primeiro milhão, no valor de R$ 1.186.477,25. Isso, sem contar que ao longo deste tempo você poderia investir ainda mais, talvez chegando a este montante em menos de 30 anos sem exageros.

Bem, aí está uma forma mais viável de se ficar milionário, sem gastar o seu precioso dinheiro no que alguns chamam de "sorte" (o que eu chamaria de ser algo que tem muita probabilidade de não acontecer e acontecer) - uma burrice tremenda, diria eu. Isso fora, que você poderia usar o dinheiro que gasta com a cerveja, as drogas, cigarros, doces entre outras coisas inúteis, e investir ainda mais; e certamente, você esperaria muito menos que 40 anos e já seria um milionário.

A diferença, é que para isso você teria que ter uma paciência de aguardar décadas, e ter uma visão futura para sacrificar o agora, ajuntando 10mil reias e investindo-o, ao invés de gastá-lo com outras coisas temporais. Ficam pensando: É mais fácil ganhar assim. - Como vimos, mais fácil coisa nenhuma. A tendência de ocorrer, em muitas calculadoras é ZERO, ou seja, NENHUMA. Ao invés disso, investimento, uma boa aplicação é uma ATITUDE COM MAIOR CONFIABILIDADE de que aos poucos se chega lá, ou pelo menos, terá como resgatar parte do valor investido. Apenas você precisa revestir-se de uma visão futura e longânima. Por exemplo, investimento em eucalipto, tende a te render 500% em 7 anos.

Caso, tenha 'dinheiro sobrando' para fazer algumas apostas altamente especulativas, se quiser otimizar suas chances de algum modo, fazer uma escolha 'um pouco mais racíonal'. Então pelo menos espere o prêmio acumular acima de 50 milhões, e mitigue seus custos com outras pessoas, através de um bom 'bolão'. Mas sempre esteja mais do que certo que este dinheiro não fará nenhum impacto financeiro no seu orçamento. E lembre-se, cuidado!, jogar pode viciar. Não poucos ficam tentados a jogar e arriscar cada vez mais e até mesmo tomando decisões absurdamente irracionais que estragam suas vidas e de seus entes.

PARA MEDITAR
"Melhor é o que se estima em pouco e faz o seu trabalho do que o vanglorioso que tem falta de pão. " Prov. 5:10

"Os bens que facilmente se ganham, esses diminuem, mas o que ajunta à força do trabalho terá aumento." Prov. 13:11

"O preguiçoso mete a mão no prato e não quer ter o trabalho de a levar à boca." Prov. 26:15